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RLC串联的交流电路
RLC并联的交流电路
RLC串联的交流电路
下图所示式$R$、$L$、$C$（电阻、电感、电容）三个元件串联的交流电路。电流、电压的参考方向已经标注在图中。
因串联电路中各元件流过同一电路，所以以电流作为参考量。设电流为$i=I_{m}sinomega t $，则$R$、$L$、$C$各元件上的电压为：
$$ u_{R}=Isqrt{2}sinomega t $$
$$ u_{L}=Isqrt{2}sinleft ( omega t+90^{circ} right ) $$
$$ u_{C}=Isqrt{2}sinleft ( omega t-90^{circ} right ) $$
根据基尔霍夫定律可知，电路总电压与各元件上的电压代数和相等，即：
$$ u=u_{R}+u_{L}+u_{C} $$
显然，上式中的总电压u是与电流和各元件上电压频率相同的正弦量，可用下式表示：
$$ u=Usqrt{2}sinleft ( omega t+varphi right ) $$
在上式中只要求出总电压的有效值U和初相位角$varphi$，则总电压和各元件的电压关系便可知。在此采用相量法分析更为方便。
首先将上图a画成用相量表示的电路图，如图b所示。图中各元件用相应的电阻、电抗、容抗表示，电流、电压用相量表示，则有：
$$ dot{U}=dot{U}_{R}+dot{U}_{L}+dot{U}_{C} $$
并以$ dot{I} $为参考相量，做电路的相量图，如图C所示。图中三个元件电压对电流的相位关系分别是$ dot{U}_{R} $与$ dot{I} $同相，$ dot{U}_{L} $超前$ dot{I} $为90°，$ dot{U}_{C} $则滞后$ dot{I} $为90°。将三个元件的电压相量合成，便得到总电压相量$ dot{U} $。
从相量图中可以得出，总电压有效值为：
$$ U=sqrt{U_{R}^{2}+left ( U_{L}-U_{C} right )^{2}}=Isqrt{R^{2}+left ( X_{L}-X_{C} right )^{2}} $$
相位上，总电压超前电流为$varphi$角，记为$varphi$＞0（按习惯规定，电压超前电流时$varphi$角为正，滞后时为负）。并有：
$$ varphi =arctanfrac{U_{L}-U_{C}}{U_{R}}=arctanfrac{Ileft ( X_{L}-X_{C} right )}{IR}=arctan=frac{X_{L}-X_{C}}{R} $$
由上式可知，$varphi$角是由电路的参数$R$、$X_{L}$和$X_{C}$决定的，如果电路的参数不同，$varphi$角便不同。若$X_{L}$=$X_{C}$，则$varphi$=0，电压$dot{U}$与电流$dot{I}$相同，此时的电路可看作是电阻性电路；若$X_{L}$＞$X_{C}$，则$varphi$＞0，电压$dot{U}$超前$dot{I}$为$varphi$角，此时的电路可看作是电感性电路；若$X_{L}$＜$X_{C}$，则$varphi$＜0，电压$dot{U}$滞后电路$dot{I}$为$varphi$角，此时的电路可看作是电容性电路。
将图C中总电压与分电压关系用下式表示：
$$ dot{U}=Rdot{I}+jX_{C}dot{I}=dot{I}left [ R+jleft ( X_{L}-X_{C} right ) right ]=dot{I}left ( R+jX right )=dot{I}Z $$
上式称为欧姆定律的相量形式。式中的Z称为复阻抗，单位为Ω。式中X叫做电抗。将上式变换后，得：
$$Z=frac{dot{U}}{dot{I}}=frac{Uangle psi _{u}}{Iangle psi _{i}}=frac{U}{I}angle psi _{u}-psi _{i}=left | Zright |angle varphi $$
要注意的是Z只是个复数，它不是时间的正弦函数，即不能用相量表示，故符号Z顶上不能加点。上式中复阻抗的模$left | Z right |$称为阻抗，总是正值，即$left | Z right |$＞0，单位Ω。$left | Z right |$与$R$、$X_{L}$、$X_{C}$有如下关系：
$$ left | Z right |=sqrt{R^{2}+left ( X_{L}+X_{C} right )^{2}}=sqrt{R^{2}+X^{2}}$$
复阻抗$Z$的幅角$φ$叫做阻抗角：
$$varphi =arctanfrac{X_{L}-X_{C}}{R}=arctanfrac{X}{R}$$
复阻抗可以用复数的各种形式来表示，常用的有：
$$Z=left | Z right |angle varphi =R+jX=left | Z right |e^{jvarphi }$$
在分析计算交流电路时，复阻抗的代数形式和指数形式可按复数的性质进行互换。$R$、$X$和$|Z|$之间又构成了直三角形的关系，称之为阻抗三角形，如右图所示。从阻抗三角形中可知：
$$R=|Z|cosφ$$
$$X=|Z|sinφ$$
练一练
题：日光灯电路可用$R$、$L$两个元件串联的电路来表示，如右图所示，其中$R$表示灯管和镇流器的总电阻，$L$表示镇流器的电感，若电阻$R=340Ω$，电感$L$=1.3$H$，正弦电压$U$=220V，求电路中的电流$I$及电阻和电感上的电压。
解：电路总电阻$R$=340$Ω$，镇流器的感抗为：
$$X_{L}=omega L=2pi times 50times 1.3=480Omega $$
电路总阻抗为：
$$|Z|=sqrt{R^{2}+X^{2}}=sqrt{340^{2}+480^{2}}=532Omega $$
电流有效值为：
$$I=frac{U}{|Z|}=frac{220}{532}=0.414A$$
电阻$R$上的电压为：
$$U_{R}=IR=0.414times 340=140.76V$$
电感$L$上的电压为：
$$U_{L}=IX_{L}=0.414times 408=168.91V$$
由计算可知，在$R$、$L$串联的交流电路中，总电压有效值$U$与各元件上电压有效值之和是不相等的，即$U≠U_{R}+U_{L}$。
RLC并联的交流电路
下图是用相量和复阻抗表示的R、L、C并联的交流电路，各电流、电压参考方向已在图中标出。因为各并联支路的电压是相同的，所以取电压作为参考量$u=U_{m}sinωt=Usqrt{2}sinomega t$。根据基尔霍夫电流定律，电路的总电流为：$i=i_{R}+i_{L}+i_{C}$。由于并联电路的电源电压和各支路电流时正弦量，所以总电流应为同频率的正弦量。
$$i=I_{m}sinleft ( omega t+varphi right )=Isqrt{2}sinleft ( omega t+varphi right )$$
由上式可知，只要求出电流的有效值$I$和初相位角$φ$，则i就可以知道了。用相量法作出相量图进行分析。图a中电压、电流用相量表示，各元件参数用电阻$R$、感抗$jX_{L}$和容抗$-jX_{C}$表示，则$i=i_{R}+i_{L}+i_{C}$可写成：
$$dot{I}=dot{I}_{R}+dot{I}_{L}+dot{I}_{C}$$
以$dot{U}$为参考量，作电路的相量图，如图b所示。图中三个元件电流对电压的相位关系分别是$dot{I}_{R}$与$dot{U}$同相，$dot{I}_{L}$滞后$dot{U}$为90°，$dot{I}_{C}$则超前$dot{U}$为90°。将三个元件的电流相量合成，便得到总电流相量$dot{I}$。从相量图中可以得出，总电流有效值为：
$$I=sqrt{I^{2}_{R}+left ( I_{L}-I_{C} right )^{2}}=Usqrt{left ( frac{1}{R} right )^{2}+left ( frac{1}{X_{C}}-frac{1}{X_{L}} right )^{2}} $$
相位上，总电流落后电压$φ$角，即为$φ＜0$，并有：
$$varphi =arctanfrac{frac{1}{X_{C}}-frac{1}{X_{L}}}{frac{1}{R}}$$
由上式可知，$φ$角是由参数$R$、$X_{L}$和$X_{C}$决定的，如果参数不同，$φ$角便不同。若$X_{C}=X_{L}$，则$φ=0$，电压$dot{U}$与电流$dot{I}$相同，此时的电路可看作是电阻性电路；若$X_{C}＞X_{L}$，则$φ＜0$，电压$dot{U}$超前电流$dot{I}φ$角，此时电路可看作是电感性电路；若$X_{C}＜X_{L}$，则$φ＞0$，电压$dot{U}$滞后电流$dot{I}$角，此时的电路可看作是电容性电路。
练一练
题：如右图所示，$R$、$C$并联电路，已知电流有效值$I_{1}=100A$，$I_{2}=100A$，试求总电流$i$的有效值。
解：可用相量法求解。以电压做参考量$dot{U}=Uangle 0^{circ}V$，各支路电流相量为：
$$dot{I}_{1}=frac{dot{U}}{R}=frac{Uangle 0^{circ}}{R}=I_{1}angle 0^{circ}=100angle 0^{circ}A$$
$$dot{I}_{2}=frac{dot{U}}{-jX_{C}}=frac{Uangle 0^{circ}}{X_{C}angle -90^{circ}}=I_{2}angle 90^{circ}=100angle 90^{circ}A$$
总电流相量为：
$$dot{I}=dot{I_{1}+dot{I_{2}}}=100angle 0^{circ}+100angle 90^{circ}=100sqrt{2}angle 45^{circ}A$$
总电流有效值为：
$$I=100sqrt{2}=141.4A$$
其实该题可根据图b和前面的公式直接求出总电流有效值为：
$$I=sqrt{I^{2}_{R}+I^{2}_{C}}=sqrt{100^{2}+100^{2}}=100sqrt{2}=141.4A$$